Question

【題目】如圖1，已知正方形鐵片邊長為2a米，四邊中點分別為E，F，G，H，沿著虛線剪去大正方形的四個角，剩余為四個全等的等腰三角形和一個正方形ABCD（兩個正方形中心重合且四邊相互平行），沿正方形ABCD的四邊折起，使E，F，G，H四點重合，記為P點，如圖2，恰好能做成一個正四棱錐（粘貼損耗不計），PO⊥底面ABCD，O為正四棱錐底面中心，設正方形ABCD的邊長為2x米.

（1）若正四棱錐的棱長都相等，求所圍成的正四棱錐的全面積S；

（2）請寫出正四棱錐的體積V關于x的函數，并求V的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）. .

【解析】

（1）連接OH交BC于點H′，由正方形ABCD邊長為2x，所以HH′=a－x.

可得的長及的長，由得可得的值，可得正四棱錐的全面積，計算可得答案；

（2）可得，可得關于的函數，對其求導，利用導數可得V的最大值.

解：在圖1中連接OH交BC于點H′，

因為正方形ABCD邊長為2x，所以HH′=a－x.

在圖2中，OH′=x，PH′=a－x，

由勾股定理得，正四棱錐的高

.

（1）在直角三角形中，，

所以，

由得，，

整理得，，解得（舍去）.

所以，正四棱錐的全面積

平方米.

（2），

所以.

因為，設，

則，

令得，，當時，，在區間上遞增；

當時，，在區間上遞減.

所以當時，取得最大值，此時立方米.