Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線的斜率依次成等比數列，
求面積的取值范圍.

Answer 1

(1) ；（2）.

解析試題分析：(1)先設出橢圓方程為，再根據條件離心率為及橢圓上的點，代入即可得到橢圓方程；（2）先設出直線方程及，然后聯立橢圓方程得到及.再由直線的斜率依次成等比數列得到，由得到.代入中及直線的斜率存在得到，且，然后由點到直線的距離公式及兩點間距離公式得到面積.最后由基本不等式得到，從而得到面積的取值范圍.
試題解析：(1) 由題意可設橢圓方程為，則（其中，），且，故.
所以橢圓的方程為.
(2)由題意可知，直線的斜率存在且不為0.故可設直線：，
設，
由，消去得，
則，
且，
故，
因為直線的斜率依次成等比數列，
所以，即.
又，所以，即.
由于直線的斜率存在，且，得，且，
設為點到直線的距離，則，
，
所以，
故面積的取值范圍為.
考點：1.橢圓的標準方程及幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.點到直線的距離公式；4.基本不等式.