Question

PA，PB，PC是從點P引出的三條射線，每兩條的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  6

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：過PC上一點D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角，說明點O在∠APB的平分線上，通過直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．

解答：解：過PC上一點D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．
因為∠APC=∠BPC=60°，所以點O在∠APB的平分線上，即∠OPE=30°．
過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，因為DO⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．
設PE=1，∵∠OPE=30°∴OP=

1

cos30°

=

2 3

3

．
在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，則PD=2．
在直角△DOP中，OP=

2 3

3

，PD=2．則cos∠DPO=

OP

PD

=

3

3

．
即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．
故選C．

點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關鍵．