Question

函數(shù)f（x）滿足：（1）定義域是（0，+∞）；
（2）當x＞1時，f（x）＜2；
（3）對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的問題
（1）求出f（1）的值；
（2）寫出一個滿足上述條件的具體函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）要求f（1），結(jié)合已知由題意對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2可考慮賦值，令x=y=1，可求f（1）．
（2）由任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2，類似對數(shù)的運算性質(zhì)，聯(lián)想對數(shù)函數(shù)．
（3）要證函數(shù)的單調(diào)性，需設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由已知x＞1時，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2，故構(gòu)造 f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），從而可證．

解答：解：（1）由題意對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+log_ax，其中a可以取（0，1）內(nèi)的任意一個實數(shù)；
（3）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
事實上，設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
由已知x＞1時，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）．
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．

點評：本題以抽象函數(shù)為載體，考查利用賦值求解函數(shù)值的問題，而函數(shù)的單調(diào)性的證明的最基本的方法是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，解決此問題的關鍵是要根據(jù)題目中的條件進行合理的構(gòu)造，以達到比較f（x₁），f（x₂）的大小的目的．