Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問線段CE上是否存在一點P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由ABC-FDE是由三棱柱所解得的幾何體，知FA∥DB∥EC，且FA與DB確定平面ABDF，由FA⊥平面ABC，且OC?平面ABC，知FA⊥OC，由此能夠證明OC⊥DF．
（2）取P為CE中點時，可使得OP∥平面DEF．再由題設條件，利用空間幾何知識進行證明．

解答：（1）證明：∵ABC-FDE是由三棱柱所解得的幾何體，
∴FA∥DB∥EC，且FA與DB確定平面ABDF，
∵FA⊥平面ABC，且OC?平面ABC，∴FA⊥OC，
∵△ABC是等邊三角形，且O為AB中點，
∴OC是等邊△ABC中AB邊上的中線，
∴AB⊥OC，
∵FA?平面ABDF，AB?平面ABDF，且FA∩AB=A，
∴OC⊥平面ABDF，
∵DF?平面ABDF，∴OC⊥DF．
（2）解：線段CE上是存在一點P，使得OP∥平面DEF．取P為CE中點時，可使得OP∥平面DEF．
證明：取P為CE中點，O′為DF中點，連接OO′，OP，O′E（如圖），
由（1）知FA∥DB∥EC，且FA≠DB，
∴四邊形ABDF為梯形，
∵O，O′分別是兩腰AB、DF的中點，
所以OO′是梯形BDFA的中位線，
所以OO′∥FA，且OO′=

1

2

(FA+DB)，
∵FA=2，BD=1，∴OO’=

3

2

．
∵P是EC中點，所以CP=PE=

3

2

，
∵FA∥EC，∴OO′∥EP，且OO′=EP，
∴OO′EP是平行四邊形，∴O′E∥OP，
∵O′E?DEF，OP?面DEF，
∴OP∥面DEF，
∴P為CE中點，使得OP∥平面DEF，此時CP=

3

2

．

點評：本題考查與異面直線的證明，探索線段點的存在性．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．解題時要注意空間想象力的培養．