Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量

e1

=

1 1

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
過點M（3，4），傾斜角為

π

6

的直線l與圓C：

x=2+5cosθ y=1+5sinθ

（θ為參數）相交于A、B兩點，試確定|MA|•|MB|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實數a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，試確定e的最大值．

Answer 1

（1）設矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
則 A=

ab cd

1 1

=3

1 1

，故

a+b=3 c+d=3

ab cd

-1 2

=

3 0

，故

-a+2b=3 -c+2d=0

聯立以上兩方程組解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=

12 21

．
（2）由已知得直線l的參數方程為

x=3+tcos π 6 y=4+tsin π 6

（t為參數），
即

x=3+ 3 2 t y=4+ 1 3 t

（t為參數）．（3分）
曲線的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=25．（6分）
把直線的參數方程代入曲線的普通方程，得
t²+（

3

+3）t-15=0，
∴t₁t₂=15，（8分）
∴點P到A，B兩點的距離之積為15．（10分）
（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）
所以得：4（16-e）²≥（8-e）²．
解得：0≤e≤

16

5

不姐僅當a=b=c=d=

6

5

時，e取最大值

16

5

．