Question

已知函數f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)
（1）若x∈[0，π]，求函數f（x）的單調遞增區間和最小值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A．B．C的對邊，旦f（A）=-1，求

b-2c

acos(60°+C)

的值；
（3）在第二問的條件下，若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用數量積運算法則和兩角和差的正弦公式及其正弦函數的單調性即可得出；
（2）利用兩角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函數的單調性即可得出；
（3）利用余弦定理、三角形的面積計算公式、基本不等式即可得出．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x
=-2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+1
=-2sin(2x-

π

6

)+1，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ(k∈Z)，
又x∈[0，π]，因此函數f（x）的單調遞增區間為[

π

3

，

5π

6

]．
其最小值為f(

π

3

)=-2sin(2×

π

3

-

π

6

)+1=-2+1=-1．
（2）由f（A）=-1，可得f(A)=-2sin(2A-

π

6

)+1=-1，化為sin(2A-

π

6

)=1，
∵A∈（0，π），∴(2A-

π

6

)∈(-

π

6

，

11π

6

)，
∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

．即A=60°．
由正弦定理可得

b-2c

asin(60°+C)

=

sinB-2sinC

sin60°cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

1 2 ( 3 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．
（3）由（2）可知：A=60°．
∴3=a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c=

3

時取等號．
∴△ABC面積=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×sin60°=

3 3

4

，即最大值為

3 3

4

．

點評：本題綜合考查了數量積運算法則和兩角和差的正弦公式及其正弦函數的單調性、正弦定理、余弦定理、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，考查了知識的運用能力，屬于難題．