Question

已知圓C：x²+y²-8x=0與直線l：y=-x+m，
（1）m=1時，判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）若直線l與圓C相切，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標和半徑r，當m=1時，利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離d，判定d與r的大小即可確定出直線l與圓C的位置關系；
（2）聯立直線l與圓的方程，消去y后得到關于x的一元二次方程，由直線與圓相切時只有一個公共點，得到跟的判別式等于0，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）由x²+y²-8x=0得（x-4）²+y²=4²
所以圓心C（4，0），半徑r=4（2分）
m=1時圓心C到直線l的距離為d=

|4+0-1|

12+12

=

3 2

2

（4分）
因為d＜r（5分）
所以直線l：y=-x+1與圓C相交于兩點（6分）
（2）聯立方程組

y=-x+m x2+y2-8x=0

，
消去y，化簡得2x²-（2m+8）x+m²=0（8分）
要使直線l與圓C相切，則有△=（2m+8）²-8m²=0（10分）
即m²-8m-16=0，解得：m=4±4

2

（12分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，要求學生掌握點到直線的距離公式．圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，當d＞r時，直線與圓的位置關系為相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交．