Question

已知函數f（x）=lg

a-x

1+x

，
（Ⅰ）若f（x）為奇函數，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]內有意義，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷并證明f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）為奇函數 可得f（x）+f（-x）=0，即lg

a-x

1+x

+lg

a+x

1-x

=0，即

(a-x)(a+x)

1-x2

=1，由此可得a的值．
（Ⅱ）由題意可得f（x）在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0恒成立，再由x+1＞0，可得a-x＞0，故a＞x在（-1，5]上
恒成立，由此可得a的范圍．
（Ⅲ）當a＞5時，f（x）在定義域上為減函數，求得f（x）定義域為（-1，a）． 令-1＜x₁＜x₂＜a，
由于 f(x1)-f(x2)=lg

a-x 1

1+x1

-lg

a-x2

1+x2

=lg

a-x1

1+x1

•

1+x2

a-x2

=lg

a-x1

a-x2

•

1+x2

1+x1

＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），從而得出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數，∴f（x）+f（-x）=0，
即lg

a-x

1+x

+lg

a+x

1-x

=0，∴

(a-x)(a+x)

1-x2

=1，∴a=1．…（4分）
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]內恒有意義，則在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0恒成立，再由x+1＞0，
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．…（8分）
（Ⅲ）當a＞5時，f（x）在定義域上為減函數，…（10分）
由

a-x

1+x

＞0，a＞5，得f（x）定義域為（-1，a）． …（12分）
令-1＜x₁＜x₂＜a，由于 f(x1)-f(x2)=lg

a-x 1

1+x1

-lg

a-x2

1+x2

=lg

a-x1

1+x1

•

1+x2

a-x2

=lg

a-x1

a-x2

•

1+x2

1+x1

，…（14分）
∵-1＜x₁＜x₂＜a，∴a-x₁＞a-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，∴

a-x1

a-x2

＞1  ， 

1+x2

1+x1

＞1，
∴

a-x1

a-x2

•

1+x2

1+x1

＞1，∴lg

a-x1

a-x2

•

1+x2

1+x1

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x₁）在（-1，a）為減函數．…（16分）

點評：本題主要考查奇函數的定義和性質，對數函數的圖象和性質應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．