Question

【題目】已知函數f（x）=e2x+1﹣2mx﹣ m，其中m∈R，e為自然對數底數．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若不等式f（x）≥n對任意x∈R都成立，求mn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x∈R，f'（x）=2e2x+1﹣2m，

①當m≤0時，f'（x）≥0，f（x）在R上單調遞增；

②當m＞0時，令f'（x）=0，得 ，

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

綜上所述，當m≤0時，f（x）在R上單調遞增；

當m＞0時，f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增

（2）解：由（1）可知，若m≤0，函數f（x）在R上單調遞增，

f（x）在R上無最小值，與題意矛盾，舍去；

所以m＞0，f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，

f（x）在R上的最小值為 ．

因為不等式f（x）≥n對任意x∈R都成立，

所以 ，其中m＞0，

故 ，m＞0，

令 ，m＞0， ，

令φ'（m）=0，解得m=1，

m	（0，1）	1	（1，+∞）
φ'（m）	+	0	﹣
φ（m）	↗	極大值	↘

所以 ，故 ，

即mn的最大值為

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為 ，其中m＞0，得到 ，m＞0，令 ，m＞0，根據函數的單調性求出mn的最大值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．