Question

如圖，一簡單幾何體的一個面ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC，
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，試求該幾何體的體積V．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ACD⊥平面ADE，根據面面垂直的判定定理可知在平面ADE內一直線與平面ACD垂直，而根據BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2）所求簡單組合體的體積進行分解：V=V_E-ABC+V_E-ADC，然后利用體積公式進行求解，關鍵是幾何體的高的求解．

解答：解：（1）證明：∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵AB是圓O的直徑，
∴BC⊥AC且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC，
∵四邊形DCBE為平行四邊形，
∴DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
又∵DE?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE；
（2）所求簡單組合體的體積：V=V_E-ABC+V_E-ADC
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，
∴BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

，
∴VE-ADC=

1

3

S△ADC•DE=

1

6

AC•DC•DE=

1

2

VE-ABC=

1

3

S△ABC•EB=

1

6

AC•BC•EB=

1

2

∴該簡單幾何體的體積V=1；

點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查面面垂直的判定及簡單組合體體積的計算，考查識圖能力和邏輯思維能力，考查轉化思想，屬于基礎題．