Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為（﹣1，1），對任意x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（ ）．且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）驗證函數f（x）=lg 是否滿足這些條件；
（2）若f（ ）=1，f（ ）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f（﹣ ）=1，試解關于x的方程f（x）=﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 可得﹣1＜x＜1，即其定義域為（﹣1，1）

又 = =

又當x＜0時，1﹣x＞1+x＞0，∴ ∴

故 滿足這些條件

（2）解：令x=y=0，∴f（0）=0，

令y=﹣x，有f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）為奇函數

由條件得 ，解得

（3）解：設﹣1＜x1＜x2＜1，則x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0， ，

則 ，f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上是減函數

∵

原方程即為 ，

∴

又∵

故原方程的解為

【解析】（1）先求定義域看其是否滿足條件，然后驗證函數是否滿足 ，最后求出當x＜0時的值域，看是否滿足即可；（2）先判定函數的奇偶性，然后 建立f（a），f（b）的方程組，解之即可；（3）先判定函數f（x）在（﹣1，1）上的單調性，然后得到 ，建立關于x的方程，解之即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的值，需要了解函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法才能得出正確答案．