Question

已知函數f（x）=x²-4-k|x-2|．
（1）若函數y=f（x）為偶函數，求k的值；
（2）求函數y=f（x）在區間[0，4]上的最大值；
（3）若函數y=f（x）有且僅有一個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為y=f（x）為偶函數，所以f（-1）=f（1），由此解得k的值．
（2）當x∈[0，4]時，f（x）=

x2+kx-2k-4，0≤x≤2 x2-kx+2k-4，2＜x≤4

，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．再由f（4）＞f（0），可得函數的最大值．
（3）由題意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且僅有一個解，顯然，x=2已是該方程的解．故關于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且僅有一個等于2的解或無解，且x+2+k=0（x＜2）無解，從而求得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為y=f（x）為偶函數，所以f（-1）=f（1），解得k=0，
經檢驗k=0符合題意． …（2分）
（2）當x∈[0，4]時，f（x）=

x2+kx-2k-4，0≤x≤2 x2-kx+2k-4，2＜x≤4

，
因為y=f（x）在區間[0，4]上圖象由兩段拋物線段組成，且這兩個拋物線開口均向上，
所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一． …（4分）
又f（0）=-2k-4，f（2）=0，f（4）=12-2k，顯然f（4）＞f（0）．
所以當k＜6時，所求最大值為f（4）=12-2k；
當k≥6時，所求最大值為f（2）=0．…（6分）
（3）由題意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且僅有一個解，顯然，x=2已是該方程的解．…（8分）
當x≥2時，方程變為（x-2）（ x+2-k）=0；
當x＜2時，方程變為（x-2）（ x+2+k）=0．
從而關于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且僅有一個等于2的解或無解，且x+2+k=0（x＜2）無解．
又x=2時，k=4，此時x=-6也是方程的解，不合題意．
所以關于x的方程x+2-k=0（x≥2）無解，且x+2+k=0（x＜2）無解．
所以，k＜4且k≤-4．
綜上，k≤-4，即實數k的取值范圍為（-∞，-4]．…（10分）

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，函數的零點的定義，函數的奇偶性，體現了分類討論和等價轉化的數學思想，屬于中檔題．