Question

A、B、C是我軍三個炮兵陣地，A在B的正東方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P為敵炮陣地．某時刻，A發現敵炮陣地的某信號，由于B、C比A距P更遠，因此，4秒后，B、C才同時發現這一信號（該信號的傳播速度為每秒1千米）．若從A炮擊敵陣地P，求炮擊的方位角．

Answer 1

分析：建立坐標系，因為|PB|=|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上，寫出中垂線的方程，又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B為焦點的雙曲線右支上，寫出雙曲線方程，將這兩個方程聯立方程組，解出交點P的坐標，由PA斜率計算炮擊的方位角．

解答：解：以線段AB的中點為原點，正東方向為x軸的正方向建立直角坐標系，則A(3，0) B(-3，0)C(-5，2

3

)
依題意|PB|-|PA|=4
∴P在以A、B為焦點的雙曲線的右支上．這里a=2，c=3，b²=5．其方程為 

x2

4

-

y2

5

=1  (x＞0)…（3分）
又|PB|=|PC|，∴P又在線段BC的垂直平分線上x-

3

y+7=0…（5分）
由方程組

x- 3 y+7=0 5x2-4y2=20

解得   

x=8(負值舍去) y=5 3

即 P(8，5

3

)…（8分）
由于kAP=

3

，可知P在A北30°東方向．…（10分）

點評：本題主要考查了雙曲線方程的應用、解三角形的實際應用．要充分利用三角形的邊角關系，利用三角函數、正弦定理、余弦定理等公式找到問題解決的途徑．