Question

定義數(shù)列{a_n}：a₁=1，當(dāng)n≥2時，其中r≥0常數(shù)．
（Ⅰ）若當(dāng)r=0時，S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（1）求：S_n；
（2）求證：數(shù)列{S_2n}中任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：對一切n∈N^*及r≥0，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先計算數(shù)列的前8項猜想數(shù)列的特點，數(shù)列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列的求和公式求解即可；對于否定性的結(jié)論的證明，往往利用反證法證明；
（1）欲證此不等式恒成立，先對左邊式子利用拆項法求和，后再進(jìn)行放縮即得．
解答：解：（1）當(dāng)r=0時，計算得數(shù)列的前8項為：1，1，2，2，4，4，8，8．
從而猜出數(shù)列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均為等比數(shù)列． （2分）
∵a_2k=a_2k-1=2a_2k-2，a_2k+1=2a_2k=2a_2k-1，
∴數(shù)列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均為等比數(shù)列，∴a_2k-1=a_2k=2^k-1． （4分）
①∴S_2k=2（a₁+a₃+a₅++a_2k-1）=2（2^k-1）=2^k+1-2，S_2k-1=S_2k-2+a_2k-1=2^k-2+2^k-1=3×2^k-1-2，
∴．（6分）
②證明（反證法）：假設(shè)存在三項
S_m，S_n，S_p（m，n，p∈N^*，m＜n＜p）是等差數(shù)列，
即2S_n=S_m+S_p成立．
因m，n，p均為偶數(shù)，
設(shè)m=2m₁，n=2n₁，p=2p₁，（m₁，n₁，p₁∈N^*），
∴，
即，
∴，
而此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，這就矛盾；（10分）
（2）∵a_2k=a_2k-1+r=2a_2k-2+r，
∴a_2k+r=2（a_2k-2+r），∴{a_2k+r}是首項為1+2r，
公比為2的等比數(shù)列，∴a_2k+r=（1+2r）•2^k-1．
又∵a_2k+1=2a_2k=2（a_2k-1+r），∴a_2k+1+2r=2（a_2k-1+2r），
∴{a_2k-1+2r}是首項為1+2r，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_2k-1+2r=（1+2r）•2^k-1． （12分）
∴
=
=，
∴
=．
∵r≥0，∴．
∴． （16分）
點評：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式證明中的反證法與放縮法以及數(shù)列的求和，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，屬于難題．