Question

已知關于x、y的二元一次不等式組

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

，求函數z=x+2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．

解答：解：作出二元一次不等式組

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

表示的平面區域，如圖所示：
由z=x+2y+2，得y=-

1

2

x+

1

2

z-1，得到斜率為-

1

2

，
在y軸上的截距為

1

2

z-1，隨z變化的一組平行線，
由圖可知，當直線經過可行域上的A點時，截距

1

2

z-1最小，即z最小，
解方程組

x-y=1 x+2=0

得A（-2，-3），
∴z_min=-2+2×（-3）+2=-6．
當直線與直線x+2y=4重合時，截距

1

2

z-1最大，即z最大，
∴z_max=4+2=6．
∴z=x+2y+2的最大值是6，最小值是-6．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．