Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓的焦距為，直線截圓與橢圓所得的弦長之比為，圓、橢圓與軸正半軸的交點分別為，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點（且）為橢圓上一點，點關于軸的對稱點為，直線，分別交軸于點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據焦距為，直線截圓與橢圓所得的弦長之比為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（2）由（1）可知，點的坐標為，點的坐標為，由直線的方程與直線的方程令，分別求得，，可證明，即，從而可得結論.

（1）根據題意可知，.

因為直線截橢圓所得的弦長為，

所以，化簡得.

所以，.

故橢圓的標準方程為.

（2）由（1）可知，點的坐標為，點的坐標為.

直線的方程為，令，得.

因為點關于軸的對稱點為，所以.

所以直線的方程為.

令，得.

因為，

而點在橢圓上，所以.即，所以，即，所以.