Question

已知f（x）是單調減函數，若將方程f（x）=x與f（x）=f^-1（x）的解分別稱為函數f（x）的不動點與穩定點．則x是f（x）的不動點”是“x是f（x）的穩定點”的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】分析：欲判斷”x是f（x）的不動點”是“x是f（x）的穩定點”的什么條件，只須從兩個方面考慮：一方面：若x是f（x）的不動點，看能不能推出“x是f（x）的穩定點“；另一方面：”x是f（x）的穩定點“能不能推出“x是f（x）的不動點“．
解答：解：一方面：若x是f（x）的不動點，
則f（x）=x，即函數y=f（x）與直線y=x的交點的橫坐標為x，
因為原函數與反函數的圖象一定要關于直線y=x對稱，
故反函數的圖象一定要過函數y=f（x）與直線y=x的橫坐標為x交點，
即f（x）=f^-1（x）的解是x，
故”x是f（x）的不動點⇒“x是f（x）的穩定點“；
另一方面：x是f（x）的穩定點，
即f（x）=f^-1（x），即函數y=f（x）與y=f^-1（x）的交點的橫坐標為x，
因為原函數與反函數的圖象的交點不一定在直線y=x上，
故原函數的圖象不一定要過函數y=f（x）與反函數的圖象的交點，
即x不一定是方程f（x）=f^-1（x）的解
故”x是f（x）的穩定點“不能⇒”x是f（x）的不動點“
則x“是f（x）的不動點”是“x是f（x）的穩定點”的“充分不必要條件．
故選B．
點評：本題主要考查了充要條件及互為反函數的兩個函數圖象的對稱關系，本題容易錯在：”原函數與反函數的圖象的交點一定在y=x上“，原函數與反函數的圖象的交點不一定在y=x上，如果交點只有1個：那么一定在Y=X上，因為原函數與反函數的圖象一定要對稱，如果交點有2個：那么原函數與反函數的圖象完全可以在直線y=x兩側，這樣也原函數與反函數的圖象也是對稱的．