Question

如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的長度，并探求△CPQ的周長l是否為定值．
（2）問探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S至多為多少（平方百米）？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件，結合直角三角形，直接用t表示出PQ的長度，然后推出△CPQ的周長l為定值．
（2）利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S，利用基本不等式求出面積的最小值（平方百米）．
解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，
∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=，
CQ=1-=，
∴PQ===．
∴l=CP+CQ+PQ
=1-t++
=1-t+1+t=2．
（2）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1--=2-
≤2．
當t=時取等號．
探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S至多為2（平方百米）．
點評：本題考查三角形的實際應用，函數值的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．