Question

必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）當時，求直線AP與平面BDD1B1所成角的度數；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，⊥AP，并證明你的結論.

Answer 1

（1）60º
（2）Q為的中點時

（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),
B1(1,1,1),  D1(0,0,2).
所以

又由的一個法向量.
設與所成的角為，
則=，
解得.故當時，直線AP與平面所成角為60º. ………5分
（２）若在上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，
則.
依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價于

即Q為的中點時，滿足題設的要求.                ……………10分