Question

【題目】已知橢圓E： 經過點，離心率為.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若A1，A2分別是橢圓E的左、右頂點，過點A2作直線l與x軸垂直，點P是橢圓E上的任意一點(不同于橢圓E的四個頂點)，連接PA1交直線l于點B，點Q為線段A2B的中點，求證：直線PQ與橢圓E只有一個公共點.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）利用橢圓的離心率公式，將代入橢圓的方程，即可求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）利用點斜式，求得直線的方程，求得的中點，利用中點公式求得的坐標，求得直線的斜率，直線的方程為，代入橢圓的方程，由，則直線與橢圓相切，即直線與橢圓的只有一個公共點.

試題解析：

(1)解　依題意得，

∴橢圓E的標準方程為＋＝1.

(2)證明　設P(x0，y0)(x0≠0且x0≠±)，

則直線PA1的方程為y＝(x＋)，

令x＝，得B，

則線段A2B的中點Q，∴直線PQ的斜率kPQ＝＝.①

∵P是橢圓E上的點，

∴x＝3，代入①式，得kPQ＝－，

∴直線PQ的方程為y－y0＝－(x－x0)，

與橢圓方程聯立，得

又2x＋3y＝6，整理得x2－2x0x＋x＝0，

∵Δ＝0，∴直線PQ與橢圓E相切.

故直線PQ與橢圓E只有一個公共點.