Question

（2013•江西）已知函數f（x）=a(1-2|x-

1

2

|)，a為常數且a＞0．
（1）f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱；
（2）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，但f（x₀）≠x₀，則x₀稱為函數f（x）的二階周期點，如果f（x）有兩個二階周期點x₁，x₂，試確定a的取值范圍；
（3）對于（2）中的x₁，x₂，和a，設x₃為函數f（f（x））的最大值點，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調性．

Answer 1

分析：（1）只要證明f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)成立即可；
（2）對a分類討論，利用二階周期點的定義即可得出；
（3）由（2）得出x₃，得出三角形的面積，利用導數即可得出其單調性．

解答：（1）證明：∵f(

1

2

+x)=a(1-2|

1

2

+x-

1

2

|)=a（1-2|x|），f(

1

2

-x)=a(1-2|

1

2

-x-

1

2

|)=a（1-2|x|），
∴f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，∴f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱．
（2）解：當0＜a＜

1

2

時，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 2 4a2(1-x)，x＞ 1 2

．
∴f（f（x））=x只有一個解x=0又f（0）=0，故0不是二階周期點．
當a=

1

2

時，有f（f（x））=

x，x≤ 1 2 1-x，x＞ 1 2

．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤

1

2

}，故此集合中的所有點都不是二階周期點．
當a＞

1

2

時，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 4a 2a-4a2x， 1 4a ＜x≤ 1 2 2a(1-2a)+4a2x， 1 2 ＜x≤ 4a-1 4a 4a2-4a2x，x＞ 4a-1 4a

，
∴f（f（x））=x有四個解：0，

2a

1+4a2

，

2a

1+2a

，

4a2

1+4a2

．
由f（0）=0，f(

2a

1+2a

)=

2a

1+2a

，f(

2a

1+4a2

)≠

2a

1+4a2

，f(

4a2

1+4a2

)≠

4a2

1+4a2

．
故只有

2a

1+4a2

，

4a2

1+4a2

是f（x）的二階周期點，綜上所述，所求a的取值范圍為a＞

1

2

．
（3）由（2）得x1=

2a

1+4a2

，x2=

4a2

1+4a2

．
∵x₂為函數f（x）的最大值點，∴x3=

1

4a

，或x3=

4a-1

4a

．
當x3=

1

4a

時，S（a）=

2a-1

4(1+4a2)

．求導得：S^′（a）=-

2(a- 1+ 2 2 )(a- 1- 2 2 )

(1+4a2)2

．
∴當a∈(

1

2

，

1+ 2

2

)時，S（a）單調遞增，當a∈(

1+ 2

2

，+∞)時，S（a）單調遞減．
當x3=

4a-1

4a

時，S（a）=

8a2-6a+1

4(1+4a2)

，求導得S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．
∵a＞

1

2

，從而有S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．
∴當a∈(

1

2

，+∞)時，S（a）單調遞增．

點評：本題考查了新定義“二階周期點”、利用導數研究函數的單調性、三角形的面積等基礎知識，考查了推理能力和計算能力．