Question

對于數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；一般地，規定{△^ka_n}為數列{a_n}的k階差分數列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知數列{a_n}的通項公式a_n=n²-n（n∈N*），試證明{△a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{a_n}的首項a₁=1，且滿足△²a_n-a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記b_n=，求證：b₁++…+＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-n²+n=5n-4 （2分）
∴△a_n+1-△a_n=6．
∴數列{Da_n}是首項為1，公差為5的等差數列．（3分）
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，∴△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，?△a_n-a_n=2ⁿ．（5分）
而△a_n=a_n+1-a_n，∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，∴-=，（6分）
∴數列{}構成以為首項，為公差的等差數列，
即=?a_n=n•2^n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=n•2^n-1，
∴b_n===（9分）
∴當n≥2，n∈N^*時==（-），
∴b₁++…+=1+[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
當n=1時，b₁=1＜，顯然成立．
∴b₁++…+＜．（12分）
分析：（Ⅰ）根據題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-n²+n=5n-4，所以△a_n+1-△a_n=6．由此能夠證明{△a_n}是等差數列．
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，所以△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由a_n=n•2^n-1，b_n===，當n≥2，n∈N^*時，==（-），由此入手，能夠證明b₁++…+＜．
點評：第（Ⅰ）題考查等差數列的證明，解題時要注意等差數列性質的合理運用；第（Ⅱ）題考查數列通項公式的求解方法，解題時要注意構造法的合理運用；第（Ⅲ）題考查數列前n項和的證明，解題時要注意裂項求和法的合理運用．