Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設點C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于兩點M，N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值．

Answer 1

分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．

解答：解：（Ⅰ）設C（x，y），∵

OC

=α

OA

+β

OB

，
∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．
∴

x=α y=-2β

&∵α-2β=1  &∴x+y=1

即點C的軌跡方程為x+y=（15分）
（Ⅱ）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
由題意得

b2-a2≠0 (2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0

（8分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

（10分）
∵以MN為直徑的圓過原點，∴

OM

•

ON

=0．即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0．即b²-a²-2a²b²=0．
∴

1

a2

-

1

b2

=2為定值．（14分）

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．