Question

（本小題滿分14分）

如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為

 S_□ = 2S_□.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過P(1,1),且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程．

 (Ⅲ)設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于P點(diǎn)、與

橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線，,是否存在上述直線使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

答案

由①，②，③解得，故橢圓C的方程為.    …………4分

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

 則，，兩式相減得：． 

∵P是AB的中點(diǎn)，∴ 可得直線AB的斜率為，                       

∴直線的方程為．                             …………7分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將x=1代入橢圓方程并解得，，

這時(shí)AB的中點(diǎn)為，∴x=1不符合題設(shè)要求．

綜上，直線的方程為．                        …………9分                                

（Ⅲ）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，假設(shè)滿足題設(shè)的直線存在，

（i）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由與垂直相交于點(diǎn)且得，即，

又∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB, ∴.

將代入橢圓方程，得，

由求根公式可得，           ④

.                           ⑤

，

將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得

，⑥

將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾.

即此時(shí)直線不存在.                                        …………12分

（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿足的直線的方程為或，

當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)分別為，

，，

當(dāng)時(shí)，同理可得

即此時(shí)直線也不存在.                                      …………13分

綜上可知，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)的直線不存在.           …………14分