Question

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為|OF₁|，
(Ⅰ)證明：a=b；
(Ⅱ)設(shè)Q₁，Q₂為橢圓上的兩個動點，OQ₁⊥OQ₂，過原點O作直線Q₁Q₂的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程。

Answer 1

(Ⅰ)證明：由題設(shè)及，
不妨設(shè)點A（c，y），其中y＞0，
由于點A在橢圓上，有，即，
解得從而得到，
直線的方程為，整理得，
由題設(shè)，原點O到直線的距離為，即，
將代入上式并化簡得，即a=b。
 （Ⅱ）解：設(shè)點D的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，由知，直線的斜率為，
所以直線的方程為，或y=kx+m，其中，
點的坐標(biāo)滿足方程組，
將①式代入②式，得，
整理得，，
于是，　　③
由①式得
，　　　④
由知，
將③式和④式代入得，，
將代入上式，整理得，
當(dāng)時，直線的方程為，
點的坐標(biāo)滿足方程組，
所以，
由知，即，
解得，
這時，點D的坐標(biāo)仍滿足；
綜上，點D的軌跡方程為。