Question

設a＞0，b＞0，若矩陣A=

a 0 0 b

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y）為圓C上一點，經過矩陣A變換后對應點為P′（x′，y′），得P′（ax，by）在橢圓E上，化簡所得方程與圓C為同一方程，比較系數可得a，b的值；
（2）設A^-1=

m n p q

，由逆矩陣定義建立關于n、m、p、q的方程組，解之可得n、m、p、q的值，從而得到逆矩陣A^-1．

解答：解：（1）設點P（x，y）為圓C：x²+y²=1上任意一點，
經過矩陣A變換后對應點為P′（x′，y′）
則

a 0 0 b

x y

═

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

． …2分
因為點P′（x′，y′）在橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，這個方程即為圓C方程．  …6分
因為a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．       …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，設A^-1=

m n p q

，
得AA^-1=

2 0 0 3

m n p q

=

2m 2n 3 p 3 q

=

1 0 0 1

．
．∴m=

1

2

，n=p=0，q=

3

3

，可得A^-1=

1 2 0 0 3 3

 …10分

點評：本題已知單位圓在矩陣A的作出下變換成的圖形，求變換的矩陣A，著重考查了圓的方程、橢圓的標準方程和逆變換與逆矩陣等知識，屬于基礎題．