Question

（2009•昆明模擬）已知球O的半徑為1，P、A、B、C四點都在球面上，PA⊥面ABC，AB=AC，∠BAC=90°．
（I）證明：BA⊥面PAC；
（II）若AP=

2

，求二面角O-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直的性質，可得PA⊥AB，利用線面垂直的判定可得BA⊥面PAC；
（II）過O作OO₁⊥面ABC，垂足為O₁，過O作OM⊥PA于M，則M為PA的中點，連接O₁A，過O作OE⊥AC于E，連EO₁，則∠OEO₁為二面角O-AC-B的平面角，從而可得結論．

解答：（I）證明：∵PA⊥面ABC，AB?面ABC，∴PA⊥AB   （2分）
又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC
∵PA∩AC=A，∴BA⊥面PAC； （5分）
（II）解：過O作OO₁⊥面ABC，垂足為O₁，
∵AB=AC，∠BAC=90°．
∴O₁是ABC截面圓的圓心，且BC是直徑，
過O作OM⊥PA于M，則M為PA的中點，
連接O₁A，則四邊形MAO₁O為矩形，∴OO₁=

1

2

PA=

2

2

   （8分）
過O作OE⊥AC于E，連EO₁，則∠OEO₁為二面角O-AC-B的平面角   （10分）
在直角△OBO₁中，O1B=

OB2-OO12

=

2

2

∴BC=

2

，AB=1，∴O1E=

1

2

在直角△OEO₁中，tan∠OEO₁=

OO1

O1E

=

2

∴二面角O-AC-B的大小為arctan

2

  （12分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出面面角是關鍵．