Question

在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，A為銳角．已知向量

p

=(1，

3

cos

A

2

)，

q

=(2sin

A

2

，1-cos2A)，
（1）若向量

r

=(-1，-1)，當

r

與

p

垂直時，求sinA的值；
（2）若

p

∥

q

，且a²-c²=b²-mbc，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）當

r

與

p

垂直時，

r•

p

=0，(-1，-1)•(1，

3

cos

A

2

)=0，-1+

3

cos

A

2

=0，解得cosA=-

1

3

，由A為銳角知本題無解．
（2）由

p

∥

q

得 1-cos2A=

3

sinA，所以2sin2A=

3

sinA，由A為銳角，知sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，由此能求出m．

解答：解：（1）當

r

與

p

垂直時，
∵

r•

p

=0，
∴(-1，-1)•(1，

3

cos

A

2

)=0，
整理，得-1-

3

cos

A

2

=0，
∴cos

A

2

=-

3

3

，
cosA=2cos 2

A

2

 -1=-

1

3

，
∴A不是銳角，應舍去．
故本題無解．
（2）∵

p

∥

q

，
∴1-cos2A=

3

sinA，
∴2sin2A=

3

sinA，
∵A為銳角，
∴sinA=

3

2

，
∴cosA=

1

2

，
∵a²-c²=b²-mbc可以變形為

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

即cosA=

m

2

=

1

2

，
所以m=1．

點評：本題考查平面向量垂直的條件的應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意三角函數恒等式的靈活運用．易錯點是忽視角A是銳角導致出錯．