Question

已知函數．
（1）求a，b的值；　　
（2）寫出函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．

Answer 1

解：（1）∵sin（+x）=-cosx，sin（π+x）=-sinx，sin（）=cosx
∴
=2acos²x-bsinxcosx=a（1+cos2x）-bsin2x
∵f（0）=2，f（）=+
∴2a=2且a（1+cos）-bsin=+
解之得a=1，b=-2
（2）由（1）得：f（x）=1+cos2x+sin2x=sin（2x+）+1
令≤2x+≤，k∈Z
得函數的減區間為[+kπ，+kπ]，將其與區間[-π，π]求交集，得
函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間為[-，]和[，]．
分析：（1）根據三角函數誘導公式和二倍角三角公式，化簡得f（x）=a（1+cos2x）-bsin2x，再結合題中f（0）=2且f（）=+，建立關于a、b的方程組并解之，即得實數a，b的值；
（2）利用輔助角公式化簡整理，得f（x）=sin（2x+）+1，根據正弦函數單調區間的公式，求出f（x）在R上的單調減區間，再與區間[-π，π]求交集，即可得到函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．
點評：本題給出三角函數的表達式，在已知函數對應值的情況下求參數a、b的值，并求函數在[-π，π]上的單調遞減區間，著重考查了二倍角的三角函數公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．