Question

已知函數.（為自然對數的底）
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在常數使得對于任意的正數恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由，得.
令，得，所以.                                 2分
當時，，所以在內是減函數；          
當時，，所以在內是增函數.               2分
故函數在處取得最小值.                          2分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當時，有，
即，當且僅當時，等號成立.
即兩曲線，有唯一公共點.                       3分
若存在,，則直線是曲線和的公切線，切點為.      3分
由，得直線的斜率為.
又直線過點，所以，得.
故存在，，使得對于任意正數恒成立.   3分

本試題主要考查了運用導數來研究函數的最值，和解決不等式恒成立問題。首先求導，然后判定單調性，并求解得到極值，最終得到最值。另外，對于不等式的恒成立問題，我們常常借助于第一問題的結論來幫助我們找到突破口。