Question

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A型零件和1個(gè)B型零件配套組成．每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A型零件或者3個(gè)B型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作（分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整），每組加工同一中型號(hào)的零件．設(shè)加工A型零件的工人人數(shù)為x名（x∈N^*）
（1）設(shè)完成A型零件加工所需時(shí)間為f（x）小時(shí)，寫出f（x）的解析式；
（2）為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

Answer 1

分析：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間f（x）=

A型零件個(gè)數(shù)

每小時(shí)加工A 型零件數(shù)×人數(shù)

，代入數(shù)據(jù)整理即可；
（2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，同理可得完成B型零件加工所需時(shí)間g（x）；
完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h（x），是f（x）與 g（x）的較大者；故令f（x）≥g（x），得1≤x≤32

1

7

；
所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f（x）＞g（x）；當(dāng)33≤x≤49時(shí)，f（x）＜g（x）．
即h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；求得函數(shù)h（x）的最小值即可．

解答：解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間f(x)=

450

5x

=

90

x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
（2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h（x）小時(shí)，則h（x）為f（x）與 g（x）的較大者，
令f（x）≥g（x），則

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，
所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f（x）＞g（x）；當(dāng)33≤x≤49時(shí)，f（x）＜g（x）．
故h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；
當(dāng)1≤x≤32時(shí)，h′(x)=-

90

x2

＜0，故h（x）在[1，32]上單調(diào)遞減，
則h（x）在[1，32]上的最小值為h(32)=

90

32

=

45

16

（小時(shí)）；
當(dāng)33≤x≤49時(shí)，h′(x)=

50

(50-x)2

＞0，故h（x）在[33，49]上單調(diào)遞增，
則h（x）在[33，49]上的最小值為h(33)=

50

50-33

=

50

17

（小時(shí)）； 
∵h(yuǎn)（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值為h（32），
∴x=32為所求．
所以，為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．