Question

已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且兩條曲線都經過點.
（1）求這兩條曲線的標準方程；
（2）已知點在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構成的三角形的面積為4，求點 的坐標.

Answer 1

（1）,；（2）或.

試題分析：（1）可以先利用待定系數法可以先求拋物線方程，然后利用定義法或待定系數法求出雙曲線方程;
（2）先利用三角形的面積是4，求出點p的縱坐標是，再利用點P在拋物線上，求出橫坐標即可.
試題解析：（1）∵拋物線經過點，
∴，解得，
∴拋物線的標準方程為.                                 3分
∴拋物線的焦點為，∴雙曲線的焦點為．
法一：∴ ，，
∴，  ．         5分
∴．
∴雙曲線的標準方程為.                    8分
法二：，∵雙曲線經過點，∴，      5分
解得 ，.
∴雙曲線的標準方程為.                    8分
（2）設點的坐標為，由題意得，
，∴，                      11分
∵點在拋物線上，∴，∴點的坐標為或.      14分