Question

已知雙曲線C的中心在原點，拋物線y2=2

5

x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線經過點(1，

3

)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求實數k值．

Answer 1

分析：（1）先求拋物線的焦點為F（

5

2

，0），從而設雙曲線方程，再將點(1，

3

)代入，可求雙曲線C的方程；
（2）將直線方程與雙曲線方程聯立，將向量垂直條件轉化為數量積為0，從而可得方程，進而可解．

解答：解：（1）拋物線的焦點是（

5

2

，0），則雙曲線的c=

5

2

．…（1分）
設雙曲線方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1，則有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程為：4x2-y2=1…（5分）
（2）聯立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
當△＞0時，得-2

2

＜k＜2

2

(且k≠±2)…（7分）（未寫△扣1分）
由韋達定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
設A(x1，y1)，B(x1+x2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入可得：k2=2，k=±

2

，檢驗合格．…（12分）

點評：本題以拋物線為載體，考查利用待定系數法求雙曲線的標準方程，考查向量垂直，關鍵是利用其數量積為0求解．