Question

函數(shù)f（x）=cos²x+sinx+1，x∈[-

π

6

，

2π

3

]的值域?yàn)?!--BA-->

[

5

4

，

9

4

]

．

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）變?yōu)殛P(guān)于sinx的二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域．

解答：解：由題意可得：y=-sin²x+sinx+2=-（sinx-

1

2

）²+

9

4

，
又x∈[-

π

6

，

2π

3

]，sinx∈[-

1

2

，1]
當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值為

9

4

，
當(dāng)sinx=-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值為

5

4

，
綜上函數(shù)f（x）的值域是[

5

4

，

9

4

]．
故答案為[

5

4

，

9

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，求解本題關(guān)鍵是將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于sinx的二次函數(shù)，由配方法將本方，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性判斷出函數(shù)的最值，從而得出函數(shù)的值域，本題是三角函數(shù)求值域的題型中一個(gè)很重要的題型，其規(guī)律是轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角函數(shù)二次函數(shù)，將問(wèn)題變?yōu)槎�次函�?shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．