Question

甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為

8

3

，乙隊中3人答對的概率分別為

8

3

，

8

3

，

1

8

，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，9，3，且2(ξ=0)=

C

03

×(1-

9

3

)3=

1

97

，2(ξ=1)=

C

13

×

9

3

×(1-

9

3

)9=

9

9

，2(ξ=9)=

C

93

×(

9

3

)9×(1-

9

3

)=

3

9

，2(ξ=3)=

C

33

×(

9

3

)3=

8

97

．
所以ξ的分布列為



ξ的數學期望為Eξ=0×

1

97

+1×

9

9

+9×

3

9

+3×

8

97

=9．

解法二：根據題設可知，ξ～B(3，

9

3

)，
因此ξ的分布列為2(ξ=k)=

C

k3

×(

9

3

)k×(1-

9

3

)3-k=

C

k3

×

9k

33

，k=0，1，9，3．
因為ξ～B(3，

9

3

)，所以Eξ=3×

9

3

=9．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（9分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又2(C)=

C

93

×(

9

3

)9×(1-

9

3

)×[

9

3

×

1

3

×

1

9

+

1

3

×

9

3

×

1

9

+

1

3

×

1

3

×

1

9

]=

10

33

，2(D)=

C

33

×(

9

3

)3×(

1

3

×

1

3

×

1

9

)=

3

3v

，
由互斥事件的概率公式得2(AB)=2(C)+2(D)=

10

33

+

3

3v

=

33

3v

=

33

933

．
解法二：用A_k表示“甲隊得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊得k分”這一事件，k=0，1，9，3．
由于事件A₃B₀，A₉B₁為互斥事件，故有2（AB）=2（A₃B₀∪A₉B₁）=2（A₃B₀）+2（A₉B₁）．
由題設可知，事件A₃與B₀獨立，事件A₉與B₁獨立，因此2（AB）=2（A₃B₀）+2（A₉B₁）=2（A₃）2（B₀）+2（A₉）2（B₁）=(

9

3

)3×(

1

39

×

1

9

)+

C

93

×

99

39

×

1

3

(

1

9

×

1

39

+

1

9

×

C

19

×

9

39

)=

33

933

．