Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，將沿折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中.

(1)證明：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)在圖1、2中，連接，，易得，利用勾股定理得

，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

(2)在圖2中，得到就是二面角的平面角，在中，即可求解二面角的大小；

(3)取中點(diǎn)，連接和，得到就是直線與平面所成的角，即可求解線面角的大小.

試題解析：

(1)在圖1、2中，連接，，易得，，，，

因?yàn)?/span>，所以

,，

即，，

所以平面.

(2)在圖2中設(shè)，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，則

，，

則就是二面角的平面角，

其中，，

.

(3)取中點(diǎn)，連接和，作，則平面，

所以就是直線與平面所成的角，

易得，，

所以.