Question

二次函數的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得的線段長8．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）在區間[-1，1]上，y=f （x）的圖象恒在一次函數y=2x+m的圖象上方，試確定實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）因為已知二次函數的頂點坐標，故可設二次函數的頂點式f（x）=a（x-1）²+16，且圖象在x軸上截得的線段長8，即可得a的值，從而得函數解析式；
（2）先將y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方問題轉化為g（x）=x²+m-15＜0在[-1，1]上恒成立問題，從而只需求函數g（x）的最大值即可得m的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，設f（x）=a（x-1）²+16，函數與x軸的交點為（x₁，0）與（x₂，0）
又由圖象在x軸上截得的線段長8，得|x₁-x₂|=|(1+

- 16 a

)-(1-

- 16 a

)|=8，
解得：a=-1
故f（x）=-（x-1）²+16=-x²+2x+15
（2）由已知，即-x²+2x+15＞2x+m，化簡得 x²+m-15＜0，
設g（x）=x²+m-15，則只要g（x）_max＜0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²+m-15在[-1，0]上為減函數，在[0，1]上為增函數．
∴g（x）_max=g（1）=1+m-15＜0，
∴m＜14．

點評：本題綜合考查了待定系數法求二次函數的解析式的方法，二次函數不等式恒成立問題的解法，二次函數的圖象和性質，熟知二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵