Question

已知函數f（x）=x+

1

x

．
（Ⅰ）求證：f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）通過研究f（x）的性質，作出函數f（x）的大致圖象．

Answer 1

分析：（I）根據已知中函數的解析式，求出其導函數的解析式，并分析x∈（0，1）時和x∈（1，+∞）時，導函數的符號，進而得到函數在這兩個區間上的單調性．
（II）分析函數的奇偶性，進而結合（I）分析出函數的單調性，求出函數的極值后，可得函數f（x）的大致圖象要．

解答：解：（I）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f′（x）=1-

1

x2

．
當x∈（0，1）時，

1

x2

＞1，此時f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上是減函數，
當x∈（1，+∞）時，

1

x2

＜1，此時f′（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上是增函數，
（II）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f（-x）=-x-

1

x

=-f（x）
即函數f（x）為奇函數，根據奇函數在對稱區間上單調性相同，
由（I）得：f（x）在（-∞，-1）上是增函數，在（-1，0）上是減函數；
又由x=-1時，f（-1）=-2，又由x=1時，f（1）=2
故函數f（x）的大致圖象如右圖所示．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數的圖象，函數的奇偶性，函數的極值，是函數圖象和性質的綜合應用．