Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²（a＞0）在x=1處有極值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)大于0求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，4]上的最值．

解答：解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a²=10，
得a=4，或a=-3
∵a＞0，∴a=4，
b=-11（經(jīng)檢驗符合）
（2）f（x）=x³+4x²-11x+16，f'（x）=3x²+8x-11，
由f′（x）=0得x1=-

11

3

，x2=1
所以令f′（x）＞0得x＜-

11

3

或x＞ 1；令f′(x)＜0得-

11

3

＜x＜1
所以f（x）在(-∞，-

11

3

)，(1，+∞)上單調(diào)遞增，(-

11

3

，1)上單調(diào)遞減．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，4）上單調(diào)遞增，
又因為f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值為100，最小值為1020．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0；導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)函數(shù)的得到遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0對應(yīng)函數(shù)的遞減區(qū)間．