Question

已知數列{a_n}的首項a₁=4，且當n≥2時，a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，數列{b_n}滿足bn=

1

2-an

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數列{b_n}是等差數列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=4bn•(nan-6)（n=1，2，3…），如果對任意n∈N^*，都有cn+

1

2

t≤2t2，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）要證明數列{b_n}是等差數列，只要證明b_n-b_n-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=d（d常數），結合等差數列的通項公式可求b_n
（II）結合（I）可求cn=4bn•(nan-6)=

2n-4

2n

，然后結合數列的單調性可求c_n的最大值，然后由cn+

1

2

t≤2t2恒成立，則只要≤2t2-

1

2

t，解不等式可求

解答：（I）證明：∵bn=

1

2-an

，a_n-1a_n=4a_n-1-4
∴b_n-b_n-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=

an-an-1

4-2an-2an-1+a nan-1

=-

an-an-1

2an-2an-1

=-

1

2

∵a₁=4
∴b1=

1

2-a1

=-

1

2

∴數列{b_n}是以-

1

2

為首項，以-

1

2

為公差的等差數列6
∴bn=-

1

2

n，a_n=2+

2

n

（II）∵cn=4bn•(nan-6)=

2n-4

2n

則由c_n+1-c_n=

2n-4

2n

-

2n-6

2n-1

=

-2n+8

2n

＞0可得n＜4
∴c₁＜c₂＜c₃＜c₄＞c₅＞c₆＞…＞c_n
∴故c_n有最大值c₄=

1

4

又∵cn+

1

2

t≤2t2恒成立，
∴

1

4

≤2t2-

1

2

t
∴t≥

1

2

或t≤-

1

4

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查恒成立問題，確定數列的通項，求出數列的最大值是解題的關鍵．