Question

已知函數f（x）=log₂x，設是首項和公差都等于1的等差數列．數列{b_n}滿足．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并證明數列{b_n}不是等比數列；
（2）令，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證：S_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意求出，從而求得，假設數列{b_n}是等比數列，則有 ．經過計算可得
，與假設矛盾，所以假設不成立，從而證得要證的結論成立．
（2）由條件求得，用錯位相減法求出它的值．
解答：解：（1）由題意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴，故數列{a_n}是等比數列．
假設數列{b_n}是等比數列，，則有 ．
由因為 ，∴，與假設矛盾，所以假設不成立．
∴數列{b_n}不是等比數列．（6分）
（2）∵，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴，…①
∴，…②，
①-②得  
=
=，
∴＜3．（12分）
點評：本題主要考查等比關系的確定，用錯位相減法進行數列求和，用反證法證明數學命題，屬于中檔題．