Question

設命題p：曲線y=x³-2ax²+2ax上任一點處的切線的傾斜角都是銳角；命題q：直線y=x+a與曲線y=x²-x+2有兩個公共點；若命題p和命題q中有且只有一個是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p：曲線y=x³-2ax²+2ax上任一點處的切線的傾斜角都是銳角為真命題，則他的導函數大于0恒成立，由此可構造一個關于a的不等式，解不等式可以求出滿足條件的實數a的取值范圍，及不滿足條件的實數a的取值范圍；若命題q：直線y=x+a與曲線y=x²-x+2有兩個公共點，則方程x²-2x+2-a=0有兩個不等根，由二次方程根的個數與△的關系，又可造一個關于a的不等式，解不等式可以求出滿足條件的實數a的取值范圍，及不滿足條件的實數a的取值范圍；根據命題p和命題q中有且只有一個是真命題，分類討論即可得到答案．

解答：解：若命題p為真命題，則y′=3x²-4ax+2a＞0對x∈R恒成立，…（2分）
∴△₁=（4a）²-4×3×2a=8a（2a-3）＜0，得0＜a＜

3

2

；…（5分）
若命題q為真命題，則方程組

y=x+a y=x2-x+2

有兩組不同的解，即x²-2x+2-a=0有兩個不等根，
∴△₂=4-4（2-a）=4（a-1）＞0，得a＞1；…（10分）
那么，命題p為真命題而命題q為假命題時，即0＜a＜

3

2

且a≤1，
得，0＜a≤1；…（12分）
命題p為假命題而命題q為真命題時，即

a≤0或a≥ 3 2 a＞1

，得，a≥

3

2

；
∴當命題p和命題q中有且只有一個是真命題時，a∈(0，1]∪[

3

2

，+∞)．…（14分）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，直線的傾斜角，直線與圓錐曲線的關系，其中求出命題p與命題q成立及不成立時，數a的取值范圍是解答本題的關鍵．