Question

如圖，某開發區旁邊有一條東北走向的公路l，開發區內有兩工廠A，B（B在A正東4km），A工廠到公路l的距離為．建立適當的坐標系，解決下列問題：
（Ⅰ）求公路l所在直線的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站點M到A，B兩工廠路程之和最小，現要建一條經過M的環行公路，使公路上每一點到A，B兩工廠路程之和相等，求環行公路所在曲線的方程；
（Ⅲ）開發區內有一物資儲藏庫C位于B工廠西北距B工廠，在（Ⅱ）中的環行公路上設一站點N，使站點N到C，B兩地的距離之和最小．試問：滿足要求的點N在什么位置（不要證明），并求|NC|+|NB|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A，B所在直線為x軸，中點為原點，建立直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），設直線l的方程：y=x+m，由點A到l的距離為可得關于m的方程．解出m后即得l的方程；
（Ⅱ）設P（x，y）設所求曲線上任意一點，則由題意知點P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點，且長軸最短的橢圓．設此橢圓的方程為，則方程組有唯一解，消元后
令△=0可得b²=4，進而得a²=8；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），在（Ⅱ）中的環行公路上設一站點N，使站點N到C，B兩地的距離之和最小，即在上求一點N，使|NC|+|NB|最小．當N為直線l_AC：x-3y+2=0與橢圓交點之一時，|NC|+|NB|最小，通過解方程組可得求；
解答：解：以A，B所在直線為x軸，中點為原點，建立直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），
（Ⅰ） 設直線l的方程：y=x+m，則由題意知m＞2，直線l在點A的右上方，
，
由m＞2得，∴直線l的方程：；
（Ⅱ）設P（x，y）設所求曲線上任意一點，則由題意知點P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點，且長軸最短的橢圓．
設此橢圓的方程為，則方程組有唯一解，
，，
△=48b⁴+8b²（b²-8）（b²+2）=4b²（b⁴-16）=0，b²=4，a²=8，
所求橢圓的方程為；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），
在（Ⅱ）中的環行公路上設一站點N，使站點N到C，B兩地的距離之和最小，
即在上求一點N，使|NC|+|NB|最小．
顯然，當N為直線l_AC：x-3y+2=0與橢圓交點之一時，|NC|+|NB|最小，
由方程組，得（3y-2）²+2y²-8=11y²-12y-4=0，
解得或，
當時，，
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系、圓錐曲線中的最值問題、橢圓在實際中的應用，考查學生分析解決實際問題的能力．