Question

已知函數f(x)=

x2

ax+b

（a，b為常數）且方程f（x）-x+12=0有兩個實根為x₁=3，x₂=4．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設k＞1，解關于x的不等式；f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

分析：（1）將x₁=3，x₂=4分別代入方程

x2

ax+b

-x+12=0得出關于a，b的方程組，解之即得a，b，從而得出函數f（x）的解析式．
（2）不等式即為：即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．下面對k進行分類討論：①當1＜k＜2，②當k=2時，③當k＞2時，分別求出此不等式的解集即可．

解答：解：（1）將x₁=3，x₂=4分別代入方程

x2

ax+b

-x+12=0，得

9 3a+b =-9 16 4a+b =-8

，解得

a=-1 b=2

，所以f（x）=

x2

2-x

(x≠2)．
（2）不等式即為

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，可化為

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．
①當1＜k＜2，解集為x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②當k=2時，不等式為（x-2）²（x-1）＞0解集為x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③當k＞2時，解集為x∈（1，2）∪（k，+∞）．

點評：本題主要是應用分類討論思想解決不等式問題，關鍵是正確地進行分類，而分類一般有以下幾個原則：
1．要有明確的分類標準；
2．對討論對象分類時要不重復、不遺漏，即分成若干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；
3．當討論的對象不止一種時，應分層次進行，以避免混亂．根據絕對值的意義判斷出f（x）的奇偶性，再利用偶函數的圖象關于y軸對稱，求出函數在（0，+∞）上的單調區間，并且只要求出當x＞0時，函數f（x）=x²-2ax（a＞0）最小值進而利用f（x）_min≤-1解答此題．