Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-mx2+

3

2

mx，(m＞0)．
（1）當m=2時，
①求函數y=f（x）的單調區間；
②求函數y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程；
（2）若函數f（x）既有極大值，又有極小值，且當0≤x≤4m時，f(x)＜mx2+(

3

2

m-3m2)x+

32

3

恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
②因為曲線f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為 f′（0），所以函數f（x）的圖象在點（0，0）處切線方程可以用點斜式求得．
（2）因為函數f（x）既有極大值，又有極小值，則f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有兩個不同的根，有△＞0，再令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x求出導數，利用導數研究它的單調性及最值，從而求得m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=2時，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，則f'（x）=x²-4x+3，（1分）
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3（2分）
函數的單調遞增區間是：（-∞，1），（3，+∞）函數的單調遞減區間是：（1，3）（4分）
②f'（0）=3，
∴函數y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程為y=3x．（6分）
（2）因為函數f（x）既有極大值，又有極小值，則f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有兩個不同的根，
則有△=4m²-6m＞0，又m＞0，∴m＞

3

2

（8分）
令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x
g'（x）=x²-4mx+3m²=0?x=m，或x=3m，（10分）
∴g'（x）＞0?x＜m或x＞3m，g'（x）＜0?m＜x＜3m
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上為增函數，在（m，3m）上為減函數，（12分）
∴g(m)=

4

3

m3，g(3m)=0為g(x)的極值，又g(0)=0，g(4m)=

4

3

m3，
∴g（x）最大值為

4

3

m3，
∴

4

3

m3＜

32

3

?m＜2（13分）m的取值范圍為

3

2

＜m＜2．（14分）

點評：本題考查的是利用導數求曲線的切線方程、函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．