Question

如圖，過拋物線y²＝2PX(P>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M₁、N₁   
 
(Ⅰ)求證：FM₁⊥FN₁:
(Ⅱ)記△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面積分別為，試判斷S²₂＝4S₁S₃是否成立，并證明你的結論。   

Answer 1

(Ⅰ) 略（Ⅱ）成立。

本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力（滿分13分）
（1）      證法1：由拋物線的定義得
    
               2分
如圖，設準線l與x的交點為


而
即

故
證法2：依題意，焦點為準線l的方程為
設點M,N的坐標分別為直線MN的方程為，則有

由 得
于是，，
，故
（Ⅱ）成立，證明如下：
證法1：設，則由拋物線的定義得
，于是





將與代入上式化簡可得   
，此式恒成立。
故成立。
證法2：如圖，設直線M的傾角為，
則由拋物線的定義得

于是
在和中，由余弦定理可得

由（I）的結論，得

即，得證。