Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|x-1|+|2x-3|-a．
（I）當a=2時，求不等式f（x）≥0的解集；
（II ）若f（x）≥O恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=2時，由不等式可得 ①

x＜1 1-x+3-2x≥2

，或②

1≤x＜ 3 2 x-1+3-2x≥2

，或 ③

x≥ 3 2 x-1+2x-3≥2

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（II ）由題意可得，f（x）的最小值大于或等于零，根據函數的解析式可得函數的最小值為 f（

3

2

）=

1

2

-a，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=2時，求不等式f（x）≥0 即|x-1|+|2x-3|≥2，
∴①

x＜1 1-x+3-2x≥2

，或②

1≤x＜ 3 2 x-1+3-2x≥2

，或 ③

x≥ 3 2 x-1+2x-3≥2

．
解①得 x≤

2

3

，解②得x∈∅，解③得x≥3，
故不等式的解集為{x|x≤

2

3

，或x≥3}．
（II ）若f（x）≥O恒成立，則f（x）的最小值大于或等于零．
由于函數 f（x）=

4-3x-a ， x＜-1 2-x-a ， 1≤x＜ 3 2 3x-4-a ， x≥ 3 2

，顯然函數在（-∞，

3

2

]上是減函數，
故函數的最小值為 f（

3

2

）=

1

2

-a≥0，解得 a≤

1

2

，
故a的取值范圍為（-∞，

1

2

]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．