Question

(本小題滿分16分)已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a為正數)．
(1) 若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2) 求f(x)的單調區間；
(3) 設g(x)＝x²－2x，若對任意的x₁∈(0,2]，均存在x₂∈(0,2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求實數a的取值范圍．

Answer 1

f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．
(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)
(2) f′(x)＝(x＞0)．
①當0＜a＜時，＞2，
在區間(0,2)和上，f′(x)＞0；
在區間上，f′(x)＜0，
故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和，單調遞減區間是.(6分)
②當a＝時，f′(x)＝≥0，故f(x)的單調遞增區間是(0，＋∞)．(8分)
③當a＞時，0＜＜2，在區間和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在區間上，f′(x)＜0，故f(x)的單調遞增區間是和(2，＋∞)，單調遞減區間是.(10分)
(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)_max＜g(x)_max.(11分)
由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，
①當0＜a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，
故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2
＝－2a－2＋2ln2，
∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)
②當a＞時，f(x)在]上單調遞增，在]上單調遞減，
故f(x)_max＝f＝－2－－2lna.
由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，
∴－2－2lna＜0，f(x)_max＜0，(15分)
綜上所述，a＞0.(16分)

略