Question

（2009•泰安一模）正方體．ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為l，點F、H分別為為A₁D、A₁C的中點．
（Ⅰ）證明：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）證明：B₁H⊥平面AFC．

Answer 1

分析：（I）連BD交AC于點E，連EF，可得EF是△A₁BD的中位線，得EF∥A₁B，利用線面平行的判定定理即可證出A₁B∥平面AFC；
（II）連結B₁C，根據正方體的對角面A₁B₁CD為矩形，得A₁C的中點H也是B₁D的中點，因此問題轉化為證明B₁D⊥平面AFC．利用正方體的性質，結合線面垂直的判定與性質證出AF⊥B₁D且AE⊥B₁D，最后根據AF、AE是平面AFC內的相交直線，可得
B₁D⊥平面AFC，由此得到B₁H⊥平面AFC．

解答：解：（Ⅰ）連結BD交AC于點E，則E為BD的中點，連結EF
∵EF是△A₁BD的中位線，∴EF∥A₁B
∵EF?平面AFC，A₁B?平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC；
（II）連結B₁C，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形A₁B₁CD是矩形
∵矩形A₁B₁CD中，H為A₁C的中點，∴H也是B₁D的中點
因此，要證明B₁H⊥平面AFC，即證明B₁D⊥平面AFC
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，AF?平面AA₁C₁C，∴AF⊥A₁B₁
又∵正方形AA₁C₁C中，AF⊥A₁D，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AF⊥平面A₁B₁CD，結合B₁D?平面A₁B₁CD，得AF⊥B₁D
同理可證：AE⊥B₁D，
∵AF、AE是平面AFC內的相交直線，
∴B₁D⊥平面AFC，即B₁H⊥平面AFC

點評：本題在正方體中證明線面平行，并且探索了線面垂直的位置關系，著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和線面平行判定定理等知識，屬于中檔題．